Analisis de la formula de derivadas

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En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo .

Es de vital importancia hallar la derivación para después poder realizar las respectivas graficas

La derivada de una función en un punto “a” surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa “a”, luego se debe tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes deben ser paralelas al eje de coordenada, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados (horizontales).

La derivada de una función en un punto mide, por tanto, la pendiente de la tangente a función en dicho punto. Nos va a servir para estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función o la concavidad o convexidad de la misma en los diferentes intervalos en los que se puede descomponer su campo de existencia.

Es importante tener en cuenta que hay funciones que no tienen derivadas en un punto, y que para que una función tenga derivada, la función debe ser continua pero no todas las funciones continuas son derivables en todos sus puntos

Reglas de derivacion

REGLA DE LA CADENA
Otra manera de hallar una derivada sin efectuar la composición.
Supóngase que f y g son dos funciones derivables tales que H = g(u) y u = f(x), entonces:

REGLA DEL COCIENTE

la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda.

Se puede derivar la regla usando las características del limite y la definición de la derivada como el límite del cociente de la diferenci

REGLA DEL PRODUCTO

"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado".

Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:

Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es g(x) = 2x y se multiplique por la derivada del numerador que seria f'(x) = 3; luego la segunda parte dice que tomemos la función del numerador (f(x)) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de g(x) = 2x, que seria g'(x) = 2, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, así:

Derivadas de funciones trigonometricas

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La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función

derivadas implicitas

Esta ocurre cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.
En la derivada de funciones implícitas no es necesario despejar y basta derivar término a término, utilizando las reglas vistas hasta ahora.
Ejemplos:

Derivada de Orden Superior

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Para una función f que es una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primera derivada de f; puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la primera derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva f. Del mismo modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f, y así sucesivamente hasta la enésima derivada.

La segunda, tercera, cuarta derivada, etc... son conocidas como DERIVADAS DE ORDEN

SUPERIOR. Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden son:
Para derivadas de orden superior es de forma similar, así por ejemplo tendríamos las siguientes derivadas:
Dada la función f(x) obtener la segunda derivada y cuarta derivada:
a) f(x)=sen(x)
derivando

Otras Notaciones
Se utiliza la siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior




Cuando el orden de la derivada es mayor a o igual a 4 hay ciertas notaciones que ya no se utilizan.

Máximos y mínimos

Una función f(x) tiene en x = a un máximo cuando a su izquierda la función es creciente y a su derecha decreciente. Y tiene un mínimo, si a su izquierda la función es decreciente y a su derecha creciente

Para obtener los máximos o mínimos, los pasos a seguir son:
1. Obtener f’(x)
2. Igualar f’(x) = 0 para obtener los puntos críticos X. Cuando es una ecuación de máximo grado 2, solo se obtiene un punto critico
3. Obtener f”(x) y sustituir los puntos críticos X para determinar si es un máximo o un mínimo. Así: si el resultado es > a 0 es un mínimo y al contrario es un máximo.
4. Obtener el punto crítico (x,y)

Para obtener la coordenada y reemplazamos en la ecuación principal a los dos puntos críticos.

Razon de cambio

Se entiende como razón de cambio, la rapidez con que cambia una cantidad en términos de la razón de cambio de otra(s) cantidad(es).
Como las razones son relacionadas, la estrategia para resolver estos problemas son los siguientes:
1. De ser posible, trazar un diagrama que ilustre la situación planteada.
2. Designar con símbolos todas las cantidades dadas y las cantidades por determinar que varían con el tiempo.
3. Analizar el enunciado del problema y distinguir cuáles razones de cambio se conocen y cuál es la razón de cambio que se requiere.
4. Plantear una ecuación que relacione las variables cuyas razones de cambio están dadas o han de determinarse.
5. Usando la regla de la cadena, derivar implícitamente ambos miembros de la ecuación obtenida en (4), con respecto al tiempo t, con el fin de obtener la ecuación de razones relacionadas.
6. Sustituir en la ecuación resultante del punto (5), todos los valores conocidos de las variables y sus razones de cambio, a fin de deducir (despejar) la razón de cambio requerida. (Nota: Es hasta en este momento, que se hacen las sustituciones de acuerdo con los datos del problema)

Aplicando los pasos anteriores vamos a desarrollar los siguientes ejemplos
a) A un depósito cilíndrico de base circular y 5 m de radio, le está entrando agua a razón de 25 l/s. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua.



Reemplazando r tenemos


Como la altura y el volumen están en función del tiempo, entonces derivamos con respecto a t