optimizacion

Un problema de optimización consiste en calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.

Existe una amplia variedad de problemas y aplicaciones que tienen las siguientes finalidades: encuentra el área mínima, el menor coste, la forma óptima, la menor resistencia, el máximo beneficio, el mayor alcance...

Para optimizar una función debemos tener en cuenta las siguientes estrategias para poder solucionar un problema:

1. Identifica todas las cantidades dadas y las cantidades a determinar.
2. Escribe una ecuación primaria para la magnitud que debe hacerse máxima o mínima.
3. Reduce la ecuación primaria a una ecuación que sólo tenga una variable independiente. Este paso te puede exigir el utilizar ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria. (Las despejas en las secundarias y las sustituyes en la primaria)
4. Fija el dominio de la ecuación primaria. Esto es, determina el rango de valores para los que tiene sentido el problema planteado.
5. Utiliza el Cálculo (derivada primera y segunda de la ecuación primaria) para obtener el valor máximo o mínimo solicitado.
(Extraído de Cálculo I de Larson. Editorial Pirámide)

Ejemplos:

1. Una hoja de papel debe contener 18cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2cm cada uno, y los laterales 1cm cada uno.
Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea minimo
- Intentamos dibujar la situación: llamamos xe y y cm a las dimensiones de la hoja y con los datos que nos dan las dimensiones del texto son: x-4e y y-2cm
- Planteamos dos situaciones:
a) condición que se tiene que dar: 18cm2 de texto impreso, es decir, (x-4)(y-2)=18
b) Funcion a minimizar: area de la hoja de papel, es decir, S(x)=xy
- Resolvemos el sistema de ecuaciones

2. Los barriles que utilizan para almacenar petróleo tienen forma cilíndrica y una capacidad de 160litrs. Hallar las dimensiones del cilindro para que la chapa empleada en su construcción sea mínima